М.Двач / Математика

59 Кб, 895x504
Построение действительных чисел с нуля 4 окт 2019, 18:33 59491 В конец треда | Веб

Меня интересует вопрос. Есть аксиомы поля, которым удовлетворяет множество действительных чисел. А есть ли это самое множество и как оно построено? Что бралось из аксиом для его построения?

Ответы5949259494

2 4 окт 2019, 19:01 2 59492

>>59491 (OP)
В самом начале любого университетского курса по мат. анализу строятся множества Q и R, открой и посмотри
/thread

Ответы59493

3 4 окт 2019, 19:19 3 59493

>>59492
Не пизди. Там как раз без построения начинают. Смотри лекции матмеха и любые учебники.

4 4 окт 2019, 19:39 4 59494

>>59491 (OP)
Строится в теории множеств по аксиомам Цермело-Френкеля. Существование индуктивного множества постулируется аксиомой бесконечности, из неё выводится теорема индукции, с которой доказываются что множество натуральных чисел абелева полугруппа. Операция сложения и умножения определяются индуктивно.
Затем прямым произведением NxN строится множество целых чисел, индуцируемое классами эквивалентности. Множество N вложено в него изоморфно. Затем из ZxZ аналогично строятся рациональные. Ну а сами вещественные числа определяются как фундаментальные последовательности Коши, порождающие классы эквивалентности всех таких функций из N—>Q. Рациональные числа также вложены, как последовательность констант с сохранением структуры. Доказывается что R архимедово поле удовлетворяющее принципу верхней грани - и теперь элементы множества R рассматриваются как точки в топологии.
Из рациональных также приходят к действительным, строя дедекиндовы сечения, уже без классов эквивалентности. Также есть несколько других способов, но они менее распространены.

Ответы6004560182

5 16 окт 2019, 11:49 5 60045

>>59494
То есть когда мы доказываем что то по индукции, мы пользуемся этой теоремой?

Ответы60054

6 16 окт 2019, 12:45 6 60054

>>60045
Нет, мы пользуемся аксиомой Пеано. Но это одно и то же.

7 18 окт 2019, 06:03 7 60182

>>59494
Небольшое уточнение/дополнение. Определение индуктивного множества I звучит как
1. Пустое множество - элемент I
2. Если i - элемент I, то i∪{i} - элемент I
Иногда думают, что индуктивное множество - это то же самое, что множество N. Но на самом деле индуктивными множествами являются все предельные ординалы старше w0. В частности, w+w и w+w+w.
Поэтому аксиома индукции ещё не постулирует существование N. Она говорит, что существует хотя бы один бесконечный предельный ординал. А существование N таки нужно выводить.

Ответы60271602946036060361

136 Кб, 1280x720
8 18 окт 2019, 17:43 8 60271

>>60182
Стоп, ты тот кто мне сегодня третью аксиому "вывел" в топологии? Ты еще и N выводишь?

9 19 окт 2019, 09:04 9 60294

>>60182
считать дальше N шизофрения

10 20 окт 2019, 12:49 10 60360

>>60182
>1. Пустое множество - элемент I
>2. Если i - элемент I, то i∪{i} - элемент I
Это есть определение N, довен. Вот определение ординала:
1. Пустое множество - элемент I
Let S be a set. If S satisﬁes the two properties,
1) S a transitive set,
2) S is strictly ∈-well-ordered
then S is called an ordinal number.

Ответы60363

11 20 окт 2019, 12:49 11 60361

>>60182
>1. Пустое множество - элемент I

1) S a transitive set,
2) S is strictly ∈-well-ordered
then S is called an ordinal number.

12 20 окт 2019, 12:55 12 60363

>>60360
>Это есть определение N, довен.
Нет. N определяется как класс, являющийся пересечением всех множеств со свойствами 1 и 2. Этот класс является множеством, так как существует класс, элементом которого он является, - класс Ord.

Легко проверить, что свойствами 1 и 2 обладает w0+w0. Очевидно, не являющееся множеством N.

Ответы60364

13 20 окт 2019, 13:00 13 60364

>>60363
Ты слепой? Это поредение ординала. Читай второй пост. Легко проверить... вот долбоеб. Это доказательства на страниц 10. Хотя может у тебя есть с кванторами своё.

Ответы60365

14 20 окт 2019, 13:02 14 60365

>>60364
Слишком толсто.

Ответы60366

15 20 окт 2019, 13:03 15 60366

>>60365
Ты уебан, отвечаю.

Обновить тред
« /math/В начало тредаВеб-версияНастройки/a//b//mu//s//vg/Все доски

Скачать тред только с превьюс превью и прикрепленными файлами

Второй вариант может долго скачиваться. Файлы будут только в живых или недавно утонувших тредах.Подробнее

Пользуетесь скринридером — пишите, что можно улучшить.
Host-Food.ru — надёжный хостинг от 12 руб/мес | Free DNS
Зеркала М.Двача: m2ch.hk, m2ch.lib, m2chfapiswfw2wcakptqp4o6ltgchvjuxfab7urxlduraomtlnhw5xad.onion