М.Двач / Математика

69 Кб, 515x239
Матач, помоги. Как доказать, что неприводимый над некоторым полем P многочлен не имеет совпадающих корней? 21 июля 2021, 20:42 85817 В конец треда | Веб

Матач, помоги. Как доказать, что неприводимый над некоторым полем P многочлен не имеет совпадающих корней?

Ответы5818675967616911

2 21 июля 2021, 20:54 2 85818

>>85817 (OP)
По теореме Безу

Ответы5820

3 21 июля 2021, 21:12 3 85820

>>85818
Не врубаюсь, при чем тут она. Распиши подробнее, если у тебя есть идея.

Ответы5824

4 22 июля 2021, 08:43 4 85824

>>85820
Пусть a - дважды корень. Тогда f делится на (x-a)^2, т.е. f = g(x-a)^2. Тогда у многочлена f = g(x-a) корни те же самые, а степень на единичку ниже. Это противоречит тому, что f - минимальный многочлен.

Ответы583067596761

5 22 июля 2021, 14:40 5 85830

>>85824
f неразложим над P, являясь при этом многочленом над ним. Это следует из минимальности.
g(x-a) же вполне может не являться многочленом над P, а значит условие минимальности f не обязательно нарушается.
Т.е. нет никаких оснований считать, что многочлен g(x-a) будет многочленом над P, а значит будет противоречить условию.
Вообще, Постников ИМХО хуйню какую-то в этом абзаце спизданул. Он тут теорему одну доказывает, вот для доказательства достаточно потребовать, чтобы все эти беты и гаммы со скрина не совпадали и при этом являлись корнями исследуемых многочленов. Т.е. даже если у них есть совпадающие корни, мы среди бет и гамм совпадающих числен не пишем. С таким построением доказательство пойдет. Хз, нахуй он эту хуйню про минимальность спизданул, черт ебаный.

Ответы67596761

6 22 авг 2021, 04:03 6 86759

>>85830
>>85824
>>85817 (OP)
Это какая-то лютая хуйня, к которой есть контрпример, сам его расписывал.

Так вот, если мы рассмотрим поле рациональных дробей Z_p(t) и в нем многочлен f(x) = x^p - t из Z_p(t)[x].

Тогда из леммы Гаусса для факториальных колец будет верно, что неприводимость над Z_p[t] экививалента неприводимости над Z_p(t).

t является простым элементом в Z_p[t], тогда применив критерий Эйзентштейна для факториальных колец, получаем, что f(x) неприводим.

Теперь в алгебраическом замыкание f(x) у этого многочлена будет корень a, a^p = t, тогда из того, что характеристика равна p, следует, что f(x) = x^p - t = x^p - a^p = (x - a)^p, вот тебе и кратный корень неприводимого многочлена

Ответы67616919

7 22 авг 2021, 08:20 7 86761

>>85830
>>86759
Когда говорят про «корни многочлена над P”, подразумевают всё-таки, что речь идёт о корнях из P. Если в пике>>85817 (OP) имеется в виду именно это, то ошибки там нет, рассуждение>>85824 для таких корней, конечно, верное

Ответы67686769

8 22 авг 2021, 14:08 8 86768

>>86761
Во-первых, в самом тексте нет фразы корни многочлена над P.

Во-вторых, Напомню определение минимального многочлена элемента поля над подполем $P \subset E$. Минимальный многочлен $\alpha$ над $P$, это приведенный многочлен минимальной степени, зануляющий $\alpha$.

Нетрудно понять, что этот многочлен будет неприводим в $P[x]$, так как иначе, он не минимален. А если он неприводим над $P$, то у него вообще корней в P нет, от слова совсем, если у многочлена есть есть корень, то он приводим по теореме Безу. Все корни будут как раз-таки лежать в $E$, а там они могут быть одинаковыми по моему примеру выше.

9 22 авг 2021, 14:13 9 86769

>>86761
>>Когда говорят про «корни многочлена над P”, подразумевают всё-таки, что речь идёт о корнях из P.

Нет, не подразумевают, когда говорят корни многочлена над P, говорят что корень многочлена над $P[x]$, анон, иди с базовой литературой по алгебре ознакомься.

10 28 авг 2021, 14:02 10 86911

>>85817 (OP)
Нужно взять производную и затем воспользоваться алгоритмом евклида.

Ответы6918

11 28 авг 2021, 21:02 11 86918

>>86911
Ты прав. Уже разобрался.

12 28 авг 2021, 21:03 12 86919

>>86759
У автора речь идет о характеристике ноль, а в ней все непроходимые многочлены, как известно, сепарабельны. Просто автор мудак и забыл это уточнить. Но можно откопать более новое издание, там тема раскрыта лучше.

Обновить тред
« /math/В начало тредаВеб-версияНастройки/a//b//mu//s//vg/Все доски

Скачать тред только с превьюс превью и прикрепленными файлами

Второй вариант может долго скачиваться. Файлы будут только в живых или недавно утонувших тредах.Подробнее

Пользуетесь скринридером — пишите, что можно улучшить.
Host-Food.ru — надёжный хостинг от 12 руб/мес | Free DNS
Зеркала М.Двача: m2ch.hk, m2ch.lib, m2chfapiswfw2wcakptqp4o6ltgchvjuxfab7urxlduraomtlnhw5xad.onion